(Hình học 10 - Chương II) Bài giảng: Hệ thức lượng trong tam giác

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "(Hình học 10 - Chương II) Bài giảng: Hệ thức lượng trong tam giác ": http://123doc.vn/document/567144-hinh-hoc-10-chuong-ii-bai-giang-he-thuc-luong-trong-tam-giac.htm

Thí dụ 2: Cho ABC, biết b = 7, c = 5, cosA =
5
3
. Tính đờng cao h
a
và bán kính đ-
ờng tròn ngoại tiếp R của tam giác.
Giải
Ta có:
S =
2
1
h
a
.a =
2
1
bc.sinA h
a
=
a
Asin.c.b
. (1)
trong đó b, c đã biết và:
sin
2
A = 1 cos
2
A =
25
16
sinA =
5
4
,
(2)
a
2
= b
2
+ c
2
2bc.cosA = 49 = 25 2.7.5.
5
3
= 32 a = 4
2
. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
h
a
=
2
27
.
Ta có:
R =
Asin2
a
=
5
4
.2
24
=
2
25
.
3. Tổng bình phơng hai cạnh và độ dài đờng trung tuyến của tam
giác
Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng trung tuyến tơng ứng là m
a
,
m
b
, m
c
, ta có:
b
2
+ c
2
= 2
2
a
m
+
2
a
2
, c
2
+ a
2
= 2
2
b
m
+
2
b
2
,
a
2
+ b
2
= 2
2
c
m
+
2
c
2
.
Hoạt động
H y chứng minh các hệ thức trên.ã
Thí dụ 3: Cho ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Gọi trung điểm của AC là M. Tính
bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABM.
Giải
áp dụng định lý hàm số sin trong ABM, ta có:
R
ABM
=
Asin2
BM
. (1)
Trong ABC, ta có:
AB
2
+ AC
2
= 2AM
2
+
2
BC
2

5
A
B
CM
BM
2
=
2
1
( AB
2
+ BC
2

2
AC
2
) =
2
1
(25 + 49 18) = 28.
BM = 2
7
.
(2)
cosA =
AC.AB2
BCACAB
222
+
=
5
1
sinA =
25
1
1

=
5
62
.
(3)
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
R
ABM
=
12
425
.
4. diện tích tam giác
Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng cao tơng ứng là h
a
, h
b
, h
c
, ta
có:
S =
2
1
ah
a
=
2
1
bh
b
=
2
1
ch
c
.
S =
2
1
bcsinA =
2
1
acsinB =
2
1
absinC
S =
R4
abc
S = pr =
)cp)(bp)(ap(p

.
với p là nửa chu vi tam giác, r bán kính đờng tròn nội tiếp).
Thí dụ 4: Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3
3
. Tính BC.
Giải
Ta có:
S =
2
1
AB.AC.sinA
3
3
=
2
1
.3.4.sinA sinA =
2
3





=
=
0
0
120A
60A
.
Với A = 60
0
, ta đợc:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
2AB.AC.cosA = 13 BC =
13
.
Với A = 120
0
, ta đợc:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
2AB.AC.cosA = 37 BC =
37
.
bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho ABC vuông tại A, tgC =
3
2
và đờng cao AH = 6. Tính độ dài các
đoạn HB, HC, AB, AC.
6
Bài tập 2: Cho ABC, có AB =
22
ba
+
, BC =
22
cb
+
, AC =
22
ca
+
với a, b, c là
ba độ dài cho trớc. Chứng minh rằng ABC nhọn.
Bài tập 3: Cho ABC, cạnh a, b, c và A = 60
0
. Chứng minh rằng:
b(b
2
a
2
) = c(a
2
c
2
).
Bài tập 4: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
MA
2
+ MB
2
=
2
a5
2
.
Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.
bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
I. Định lí côsin trong tam giác
Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:
a
2
= b
2
+ c
2
2bccosA.
b
2
= a
2
+ c
2
2accosB.
c
2
= a
2
+ b
2
2abcosC.
Hệ quả: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:
2 2 2
b c a
cosA
2bc
+
=
,
2 2 2
a c b
cosB
2ac
+
=
,
2 2 2
a b c
cosC
2ab
+
=
II. Định lí sin trong tam giác
Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ta có:
a b c
2R
sin A sin B sin C
= = =
.
III. Tổng bình phơng hai cạnh và độ dài đờng trung tuyến của
tam giác
Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng trung tuyến tơng ứng là m
a
,
m
b
, m
c
, ta có:
b
2
+ c
2
= 2
2
a
m
+
2
a
2
, c
2
+ a
2
= 2
2
b
m
+
2
b
2
, a
2
+ b
2
= 2
2
c
m
+
2
c
2
.
7
IV. diện tích tam giác
Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng cao tơng ứng là h
a
, h
b
, h
c
, ta
có:
S =
1
2
ah
a
=
1
2
bh
b
=
1
2
ch
c
.
S =
1
2
bcsinA =
1
2
acsinB =
1
2
absinC.
S =
abc
4R
.
S = pr =
p(p a)(p b)(p c)
.
với p là nửa chu vi tam giác, r bán kính đờng tròn nội tiếp).
B. phơng pháp giải toán
Bài toán 1: Giải tam giác.
Phơng pháp thực hiện
Sử dụng các hệ thức trong tam giác.
Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, tgC =
3
2
và đờng cao AH = 6. Tính độ dài các
đoạn HB, HC, AB, AC.
Giải
Hai AHB và CHA đồng dạng, do đó:
HC
AH
=
AC
AB
= tgC =
3
2
HC =
2
3
AH = 9 .

AH
BH
=
AC
AB
= tgC =
3
2
BH =
3
2
AH = 4.
Trong ABC, ta có:
AB
2
= BH.BC AB =
BC.BH
=
)94(4
+
= 2
13
.
AC
2
= CH.BC AC =
BC.CH
=
)94(9
+
= 3
13
.
Bài toán 2: Chứng minh tính chất của tam giác.
Ví dụ 2: Cho ABC, có AB =
22
ba
+
, BC =
22
cb
+
, AC =
22
ca
+
với a, b, c là
ba độ dài cho trớc. Chứng minh rằng ABC nhọn.
Giải
Ta có:
AB
2
+ AC
2
BC
2
= (a
2
+ b
2
) + (a
2
+ c
2
) (b
2
+ c
2
) = 2a
2
> 0
góc A nhọn.
Tơng tự góc B, C nhọn.
Bài toán 3: Chứng minh các hệ thức trong tam giác.
8
A
B
C
H
Ví dụ 3: Cho ABC, cạnh a, b, c và A = 60
0
. Chứng minh rằng:
b(b
2
a
2
) = c(a
2
c
2
).
Giải
Ta có:
a
2
= b
2
+ c
2
2bc.cosA = b
2
+ c
2
bc
a
2
(b + c) = (b + c)(b
2
+ c
2
bc)
a
2
b + a
2
c = b
3
+ c
3
b
3
a
2
b = a
2
c c
3

b(b
2
a
2
) = c(a
2
c
2
), đpcm.
Bài toán 4: Tập hợp điểm
Ví dụ 4: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
MA
2
+ MB
2
=
2
a5
2
. (1)
Giải
Gọi I là trung điểm AB, ta có:
MA
2
+ MB
2
= 2MI
2
+
2
AB
2
= 2MI
2
+
2
a
2
. (2)
Thay (2) vào (1), ta đợc:
2MI
2
+
2
a
2
=
2
a5
2
MI
2
= a
2
MI = a.
Vậy, tập hợp điểm M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính R = a.
bài tập lần 2
Bài tập 1. Cho ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Tính:
a. Diện tích S của tam giác.
b. Các đờng cao h
a
, h
b
, h
c
.
c. Các bán kính R, r.
Bài tập 2. Cho ABC cân tại A. Đờng cao BH = a,
CBA

= .
a. Tính các cạnh và đờng cao còn lại.
b. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài tập 3. Cho ABC, biết AB + AC = 13, AB > AC, A = 60
0
và bán kính đờng tròn nội
tiếp tam giác bằng
3
. Tính độ dài các cạnh của ABC.
Bài tập 4. Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm AC. Tính
bán kính đờng tròn ngoại tiếp MBC.
Bài tập 5. Cho ABC, các trung tuyến AA
1
= 3, BB
1
= 6 và hợp với nhau một góc 60
0
.
Tính độ dài các cạnh của ABC.
Bài tập 6. Cho ABC, biết AB = 2, BC = 3, CA = 4, đờng cao AD. Tính độ dài đoạn
CD.
9
A I B
M
Bài tập 7. Cho hai đờng tròn (I
1
), (I
2
) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại
A. Nửa đờng thẳng vuông góc với I
1
I
2
cắt (I
1
), (I
2
) theo thứ tự tại B, C. Tính bán kính đ-
ờng tròn ngoại tiếp ABC.
Bài tập 8. Cho ABC, có AB = 3, AC = 6,
CAB

= 60
0
. Tính bán kính đờng tròn cắt cả
3 cạnh của ABC và chắn trên mỗi cạnh 1 dây có độ dài bằng 2.
Bài tập 9. Cho ABC, biết BC = 6. Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EF song
song với BC và tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp ABC. Tính chu ABC, biết EF = 2.
Bài tập 10.Trong các tam giác có chu vi không đổi hãy tìm tam giác có chu vi đờng
tròn nội tiếp lớn nhất.
Bài tập 11.Cho ABC có diện tích 12. Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy các điểm M,
N sao cho:
AB
AM
=
2
1
,
AC
AN
=
3
1
.
và BN cắt CM tại D.
a. Tính diện tích các tam giác BMC, ABN và AMN theo S
0
.
b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và BCD; ABD và BCD.
c. Suy ra diện tích của tam giác BCD theo S
0
.
Bài tập 12.Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy lần lợt các điểm M, N, P sao cho
MB
AM
=
NC
BN
=
PA
CP
= k, với k > 0, k cho trớc.
a. Biết S

ABC
= S
0
. Tính S

MNP
theo S
0
và k.
b. ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho MNP có diện tích nhỏ nhất.
Bài tập 13.Cho ABC có a
4
= b
4
+ c
4
. Chứng minh ABC nhọn.
Bài tập 14.Cho ABC nhọn, đờng cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE.
a. Tính số đo góc
EBC

.
b. Giả sử AH là đờng cao lớn nhất của ABC. Xác định dạng của ABC để B =
60
0
.
Bài tập 15.Cho ABC, biết:
BA
Bsin.BAsin.A
+
+
+
CB
Csin.CBsin.B
+
+
+
AC
Asin.ACsin.C
+
+
=
= sinA + sinB + sinC.
Chứng minh rằng ABC đều.
Bài tập 16.Cho ABC, biết
S =
4
1
(a + b c)(a b + c).
chứng minh rằng ABC là vuông.
Bài tập 17.Cho ABC, diện tích bằng S, các đờng cao h
a
, h
b
, h
c
. Chứng minh rằng
ABC đều khi và chỉ khi:
10
S =
6
1
(a.h
b
+ b.h
c
+ c.h
a
).
Bài tập 18.Cho ABC đều cạnh bằng a. M là điểm bất kỳ trên đờng tròn ngoại tiếp
ABC. Chứng minh rằng:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 2a
2
.
Bài tập 19. Cho hai ABC và DEF cùng nội tiếp trong đờng tròn (C) và có:
sinA + sinB + sinC = sinD + sinE + sinF.
Chứng minh rằng hai ABC và DEF có cùng chu vi.
Bài tập 20.Cho ABC cân tại A, biết B = C = , AI = m với I là đờng tròn nội tiếp tam
giác.
a. Tính độ dài cạnh BC.
b. Với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh rằng:
2Rsin = m.cotg
2

.
Bài tập 21.Từ điểm M tuỳ ý trong ABC, các đờng thẳng MA, MB, MC lần lợt cắt
BC, CA, AB tại A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng:
1
1
AA
MA
+
1
1
BB
MB
+
1
1
CC
MC
= 1.
Bài tập 22.Cho ABC không cân tại đỉnh A, trung tuyến BD và CE, có các cạnh a, b,
c. Chứng minh rằng:
a. AB
2
.CE
2
AC
2
BD
2
=
4
)a2bc)(bc(
22222
+
.
b. AB.CE = AC.BD b
2
+ c
2
= 2a
2
.
Bài tập 23.Cho ABC vuông tại A; AH là đờng cao. HE, HF lần lợt là các đờng cao
của AHB, AHC. Chứng minh rằng:
a. BC
2
= 3AH
2
+ BE
2
+ CF
2
.
b.
3
2
BE
+
3
2
CF
=
3
2
BC
.
Bài tập 24.Cho ABC có các cạnh a, b, c thoả mãn 5c
2
= a
2
+ b
2
. Chứng minh rằng
ABC có hai trung tuyến AA
1
và BB
1
vuông góc với nhau.
Bài tập 25.Cho hai tam giác vuông ABC và A
1
B
1
C
1
vuông tại A và A
1
và đồng dạng
với nhau. Chứng minh rằng:
a. aa
1
= bb
1
+ cc
1
.
b.
1
hh
1
=
1
bb
1
+
1
cc
1
.
Bài tập 26.Cho ABC, các trung tuyến AA
1
, BB
1
và CC
1
theo thứ tự cắt đờng tròn
ngoại tiếp tam giác tại A
2
, B
2
, C
2
. Chứng minh rằng:
11
2
1
AA
AA
+
2
1
BB
BB
+
2
1
CC
CC

4
9
.
Bài tập 27.Cho ABC nhọn, trực tâm H, các đờng cao AA
1
, BB
1
, CC
1
. Chứng minh
rằng:
HA
AH
1
+
HB
BH
1
+
HC
CH
1
6,
khi nào dấu = xảy ra.
Bài tập 28.Cho ABC, chứng minh rằng:
r =
2
A
cos
2
C
sin.
2
B
sin.a
.
Bài tập 29.Cho ABC có độ dài các đờng cao h
a
, h
b
, h
c
, độ dài các đờng trung tuyến
m
a
, m
b
, m
c
, R và r theo thứ tự là bán kính đờng tròn ngoại tiếp và nội tiếp của ABC.
Chứng minh rằng
a
a
h
m
+
b
b
h
m
+
c
c
h
m

r
Rr
+
, dấu = xảy ra khi nào ?
Bài tập 30.Cho ABC, chứng minh rằng:
2
p3
< m
a
+ m
b
+ m
c
< 2p.
Bài tập 31. Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
MA
2
MB
2
=
2
a
2
.
Bài tập 32.Cho đờng tròn (O), A là điểm cố định trên (O), còn B là điểm di động trên
(O). Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm tập hợp tâm đờng tròn nội
tiếp ABC.
C. h
C. h
ớng dẫn
ớng dẫn


đáp số
đáp số
Bài tập 1.
a. Ta có:
p =
2
BCACAB
++
=
2
432
++
=
2
9

p a =
2
1
, p b =
2
3
, p c =
2
5
.
do đó:
S =
)cp)(bp)(ap(p

=
2
5
.
2
3
.
2
1
.
2
9
=
4
153
.
b. Ta có:
12
S =
2
1
ah
a
h
a
=
a
S2
=
8
153
.
S =
2
1
bh
b
h
b
=
b
S2
=
2
15
S =
2
1
ch
c
h
c
=
c
S2
=
4
153
.
c. Ta có:
S =
R4
abc
R =
S4
abc
=
15
4
3
.4
2.3.4
=
15
158
.
S = pr r =
p
S
=
6
15
.
Bài tập 2.
a. Trong HBC, ta đợc:
sin =
BC
BH
BC =

sin
BH
=

sin
a
.
Trong KAB, ta đợc:
cos =
AB
BK
AB =

cos
BK
=

cos
2
BC
=

cos.sin2
a
,
sin =
AB
AK
AK = AB.sin =

cos.sin2
a
.sin =

cos2
a
.
b. Ta có:
AC = 2R.sinB R =
Bsin2
AC
=


sin2
cos.sin2
a
=

cos.sin4
a
2
.
S

ABC
= pr r =
p
S
ABC

=
)CABCAB(
2
1
AC.BH
2
1
++
=
)cos1(2
a
+
.
Bài tập 3. Ta có AB = c, AC = b, khi đó từ giả thiêt ta đợc:
b + c = 13. (1)
Gọi M, N, P là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các
cạnh AB, AC, BC. Ta đợc:
AM = AN, BM = BP và CN = CP.
Trong MAO, ta có:
AM = OM.cotg
2
A
=
3
.cotg30
0
= 3 = AN.
13
A
B
C
M N
P
O
K
A
B C
H
a

Ta có:
BC = BP + PC = BM + CN = (AB AM) + (AC AN)
= (AB + AC) (AM + AN) = 13 6 = 7.
Trong ABC, ta có:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
2AB.AC.cosA
49 = c
2
+ b
2
2cb.cos60
0
b
2
+ c
2
bc = 49. (2)
Xét hệ phơng trình tạo bởi (1), (2), có dạng:



=+
=+
13cb
49bccb
22




=
=
8c
5b
.
Vậy, độ dài ba cạnh của ABC là a = 7, b = 5, c = 8.
Bài tập 4. áp dụng định lý hàm số sin trong BMC, ta có:
R
BMC
=
Csin2
BM
. (1)
Trong ABM, ta có:
BM =
22
AMAB
+
=
49
+
=
13
. (2)
Trong ABC:
sinC =
BC
AB
=
22
ACAB
AB
+
=
5
3
. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc R
BMC
=
6
135
.
Bài tập 5. Vì AA
1
, BB
1
hợp với nhau một góc 60
0
, do đó ta cần xét hai trờng hợp là
BGA

= 60
0
và
BGA

= 120
0
.
Trờng hợp 1: Nếu
BGA

= 60
0
.
Trong GAB, ta có:
AB
2
= GA
2
+ GB
2
2GA.GB.cos
BGA

= 12
AB = 2
3
.
Trong GA
1
B, ta có:
4
1
BC
2
= A
1
B
2
=
2
1
GA
+ GB
2
2GA
1
.GB.cos
BGA
1

= 21
BC = 2
21
.
Trong GAB
1
, ta có:
4
1
AC
2
=
2
1
AB
= GA
2
+
2
1
GB
2GA.GB
1
.cos
1
BGA

= 12
AC = 4
3
.
Trờng hợp 2: Nếu
BGA

= 120
0
Đề nghị bạn đọc tự làm.
Bài tập 6. Ta có:
14
A
B
CM
A
B
C
B
1
A
1
G