Kinh nghiệm khắc phục tình trạng HS yếu

Trờng THCS Lê Hồng Phong
Kinh nghiệm giảng dạy:
vẽ đờng phụ trong chứng minh hình học phẳng.

A. Đặt vấn đề:
Trong khi học hình học phẳng, nói chung học sinh đều cảm thấy ít nhiều
khó khăn. Nghiên cứu nguyên nhân, ta thấy có mấy điểm dới đây:
1. Học sinh cha có những khái niệm cơ bản rõ ràng.
2. Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống lý luận, không tổng hợp
từng loại làm cho ngời học khó nắm cách giải các bài toán.
3. Trong các sách giáo khoa, các bài làm mẫu quá ít, hớng dẫn và gợi ý
không đầy đủ nêm khó tiếp thu và nghiên cứu.
4. Học sinh thờng chỉ học vẹt các định lý và các quy tắc, không biết vận
dụng một cách sinh động những định lý và các quy tắc đó.
Tôi sẽ đúc rút kinh nghiệm và sẽ tổng hợp các phơng pháp chứng minh từng
loại bài tập hình học phẳng trong bài viết khác.
Trong bài viết này, tôi xin trình bày những kinh nghiệm hớng dẫn học sinh
Cách vẽ đ ờng phụ trong chứng minh hình học phẳng .
B. Giải quyết vấn đề:
hi chứng minh định lý hình học, trừ một số bài dễ, phần nhiều
phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh đợc. Vì đờng phụ có
nhiều loại, nên không có một phơng pháp vẽ cố định, đó là một
việc khó trong lúc chứng minh hình học phẳng. Trong sách giáo khoa vì không biết
nên bắt đầu nói nh thế nào, nên thà không nói còn hơn nói không rõ. Để giúp đợc
phần nào cho học sinh, tôi xin nêu một số phơng pháp vẽ đờng phụ trong chứng
minh hình học phẳng, nhng chắc chắn không sao tránh khỏi thiếu sót, rất mong đợc
góp ý, bổ sung, có thể làm sáng tỏ vấn đề, biến đổi cách giải, cung cấp t liệu, để bài
viết này ngày một hoàn thiện, giúp đợc phần nào động viên học sinh tự động
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
K

Trờng THCS Lê Hồng Phong
nghiên cứu, tạo thành tập quán kiên trì đào sâu suy nghĩ trong chứng minh hình
học phẳng cho học sinh.
Sau mỗi mục đích của việc vẽ thêm đờng phụ, tôi trình bày một ví dụ mẫu.
để tránh việc giải thích trống rỗng, tôi hết sức cố gắng dùng các ví dụ chứng minh
cụ thể, sáng sủa, một mặt vừa làm cho học sinh ghi đợc các ấn tợng sâu sắc, mặt
khác vừa tăng thêm phần hứng thú học tập cho họ. Trong ví dụ có phần suy xét
hoặc phân tích. Quá trình gợi ý sẽ nuôi dỡng năng lực suy nghĩ, tăng cờng bản
lĩnh giải quyết vấn đề cho học sinh. đồng thời học sinh phải phát huy năng lực
sáng tạo, vận dụng linh hoạt các định lý và các phơng pháp chứng minh.
I. Mục đích của việc vẽ đ ờng phụ . Nói chung, vẽ đờng phụ
nhằm sáu mục đích dới đây:
1. Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan
đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới), làm cho chúng có
liên hệ với nhau:
Ví dụ 1. Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì hình chiếu của chúng
trên một đờng thẳng thứ ba cũng bằng nhau.
GT: AB = CD
AE, BF, CG, DH đều MN
KL: EF = GH
Suy xét: Sự bằng nhau của AB và CD và sự
bằng nhau của EF và GH không thấy ngay
đợc là có liên quan với nhau.
Hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau là EF và GH. Từ định lý
Những đờng thẳng cùng vuông góc với một đờng thẳng khác thì song song với
nhau , Ta
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
2
B

A D

C
K L

M N

E F G H


Trờng THCS Lê Hồng Phong
biết AE // BF // CG // DH và có thể dựng thêm EK // AB; GL // CD để tạo nên
hai
hình bình hành. Từ định lý cạnh đối của hình bình hành bằng nhau ta có EK
= AB; GL = CD. Nh vậy tức là ta đã dời vị trí của AB và CD đến EK và GL, để
tạo thành hai cạnh tơng ứng của hai tam giác EKF và GLH trong đó ta cần
chứng minh hai đoạn thẳng EF và GH bằng nhau. Muốn có EF = GH ta chỉ cần
chứng minh

EKF =

GLH.
Sau đây là phần hớng dẫn học sinh tìm cách để vẽ thêm đờng phụ:
Câu hỏi Dự kiến trả lời của học sinh
- Muốn chứng minh hai đoạn thẳng
bằng nhau, ta làm nh thế nào ?
- Nếu chọn trờng hợp (1), cần phải vẽ
thêm đờng phụ nào ?
- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh
tơng ứng của hai tam giác bằng nhau (1);
hoặc là hai cạnh đối của hbh (2); hoặc cùng
bằng hai đoạn thẳng bằng nhau khác (3).
Vẽ thêm EK // AB và GL // CD, hoặc từ A, C
dựng đờng thẳng song song với MN
Bài chứng minh cụ thể:
Chứng minh: Lý do:
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
3

Trờng THCS Lê Hồng Phong
1. Dựng EK//AB, GL//CD
2. AE//BF; CG//DH
3. Ta có các tứ giác AEKB và CGLD
là hình bình hành.
4. EK = AB = CD = GL.
5. EK//GL
6. Ta rút ra

KEF =

LGH
7.

EFK =

GLH
8. Vậy EFK = GHL
9. EF = GH
1. Từ một điểm có thể dựng một đờng
thẳng // với một đờng thẳng cho trớc.
2. Hai đờng thẳng cùng với một đờng
thẳng khác thì // với nhau.
3. Tứ giác có hai cặp cạnh đối // với nhau
là hình bình hành.
4. Cạnh đối của hbh thì bằng nhau và suy
ra từ giả thiết.
5. Suy từ giả thiết và 1: Hai đờng thẳng cùng
// với hai đờng thẳng khác // với nhau thì
cũng // với nhau.
6. Góc đồng vị của hai đờng thẳng // với
một cát tuyến thì bằng nhau.
7. Góc vuông bằng nhau.
8. Trờng hợp bằng nhau của tam giác
vuông
9. Hai tam giác bằng nhau thì cạnh tơng
ứng của chúng cũng bằng nhau.

Chú ý: Bạn thử từ A và C dựng đờng thẳng // với MN, xem có thể làm cho
đoạn thẳng đã cho và đoạn thẳng cần chứng minh trở nên có liên hệ với nhau đ-
ợc không ?
2. Tạo nên đoạn thẳng thứ ba hoặc góc thứ ba, làm cho hai đoạn
thẳng hoặc hai góc cần chứng minh trở nên có liên hệ.


Ví dụ 2:
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
4
A B
E E
C D

Trờng THCS Lê Hồng Phong
GT:

A +

E +

C = 360
0

KL: AB//CD.
Suy xét: Từ E dựng EF//AB, nếu chứng minh đợc EF//CD thì sẽ có AB//CD.
Chứng minh: Lý do:
1. Từ E dựng EF//AB.
2. Thì

A +

1 = 180
0

3. Ta có

A +

E +

C =
360
0
4.

C +

2 = 180
0
5. EF//CD
6. AB//CD
1. Từ một điểm có thể dựng một đờng thẳng //
với một đờng thẳng cho trớc.
2. Hai góc trong cùng phía của hai đờng thẳng //
và một cát tuyến bù nhau.
3. Theo giả thiết.
4. Suy từ 2 và 3.
5. Theo định lý, cách nhận ra hai đờng thẳng //.
6. Đờng thẳng // với một trong hai đờng thẳng //
cho trớc thì cũng // với đờng thẳng kia
Chú ý: Bạn thử từ E dựng đờng // với AB về bên trái: xem đờng đó có thẻ
làm trung gian để chứng minh AB//CD đợc không ?
3. Tạo nên đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay 1/2 đoạn
thẳng hay góc cho tr ớc , để đạt mục đích chứng minh định lý.
Ví dụ 3: (tạo nên đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng cho trớc).
Cho tam giác cân ABC đáy BC, lấy trên AB kéo dài một đoạn BD = AB.
Chứng minh rằng trung tuyến CE = 1/2 CD.
GT: AB = AC
Kéo dài AB, và BD = AB; AE = EB.
Nối CD và CE
KL: CD = 2CE

Phân tích: 1. Muốn chứng minh CD = 2CE, phải có một trong hai điều kiện dới đây:
a) 1/2 độ dài CD = độ dài CE.
b) 2 lần độ dài CE = độ dài CD.
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
5
A

E
B C
F
D

Trờng THCS Lê Hồng Phong
2. Nếu lấy a) của 1, để có 1/2 CD = CE, thì phải chia đôi CD ở F, và
nghiên cứu xem có hợp với một trong hai điều kiện dới đây không:
a) CF = CE. b) DF = CE.
3. Nếu lấy a) của 2, để có CF = CE, lại cần phải có một trong hai
điều kiện sau:
a) CF và CE là cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
b) CF và CE đều bằng một đoạn thẳng thứ ba.
. . . . . .
4. Nếu lấy a) của 3, phải nối BF và muốn

BFC =

BEC, ta lại cần phải
có một trong những điều kiện sau:
a) BE = BF;

2 =

1; BC = BC (cgc)
b)

2 =

1; BC = BC;

BCF =

BCE. (gcg).
5. Nghiên cứu kỹ a) và b) của 4. Ta thấy chỉ có a) phù hợp với giả thiết. Vì
BF là đoạn thẳng nối liền điểm giữa của hai cạnh, nên bằng 1/2 AC. Theo giả
thiết thì AB = AC, BE = 1/2 AB. Thay vào sẽ đợc BF = BE, và vì BF//AC, nên có
cặp góc so le trong

2 =

ACB; tam giác ABC cân, nên

1 =

ACB, ta
suy ra

1 =

2. còn BC thì chung. Cuối cùng ta đợc

BCF =

BCE, thì
cũng chứng minh đợc CD = 2CE.
Trong phân tích trên, nếu lấy b) của 1; b) của 2; b) của 3 suy đoán t -
ơng tự, ta cũng đợc kết quả nh trên, do đó có những phơng pháp chứng minh
khác nhau.
Chứng minh: Lý do:
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
6

Trờng THCS Lê Hồng Phong
1. Chia đôi CD tại F, nối BF
2. Vì AB = BD; CF = FD
3. Do đó BF//AC
4. Từ

1=

ACB=

2
5. Và BF = 1/2 AC = 1/2 AB = BE
6. BC = BC
7. Có CBF = CBE
8. CF = CE
9. Vậy CD = 2CE
1. Mỗi đoạn thẳng đều có một điểm giữa qua
2 điểm kẻ đợc một đờng thẳng.
2. Theo giả thiết và suy từ 1.
3. đờng thẳng đi qua điểm giữa của 2 cạnh một
tam giác thì // với cạnh thứ ba và bằng 1/2 cạnh đó.
4. Hai góc đáy của một tam giác cân bằng
nhau; góc so le trong bằng nhau.
5. Suy từ 3 và giả thiết
6. Không đổi.
7. cgc
8. Các yếu tố tơng ứng của hai tam giác bằng
nhau.
9. Suy ra từ 8 và giả thiết.
Ví dụ 4: (tạo nên đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng).
Nếu tổng hai đáy của một hình thang bằng một cạnh bên, thì đờng phân giác
của hai góc kề với cạnh bên đó đi qua điểm giữa của cạnh bên kia.
GT: Hình thang ABCD, AD//BC
AD + BC = AB;
F là điểm giữa của CD F
KL: Phân giác của

A và

B đi qua F
B C G
Suy xét: Muốn chứng minh một đờng thẳng đi qua điểm giữa của một
đoạn thẳng thì tơng đối khó, chứng minh một đờng thẳng chia đôi một góc dễ
hơn. Ta sẽ dùng phơng pháp chứng minh gián tiếp để chứng minh định lý này.
Định lý đảo của định lý này là Nếu trong hình thang ABCD, AD//BC, AD + BC
= AB, F là điểm giữa của CD, nối AF và BF, thì AF chia đôi góc A và BF chia
đôi góc B .
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
7
A D

Trờng THCS Lê Hồng Phong
Vì đờng phân giác (của

A và

B) chỉ có một, và qua hai điểm chỉ kẻ
đợc một đờng thẳng (AF, BF) nên ta không cần chứng minh định lý thuận mà
chứng minh định lý đảo cũng đợc.
Chứng minh: Lý do:
1. Không dựng phân giác của

A và

B, nối AF, BF, kéo dài
AF và BC gặp nhau ở G.
2. Từ AD//BC
3. Có

1 =

G;

D =

FCG
4. DF = FG
5. Vậy ADF = GCF
6. Rút ra AD = CG
7. BG = AB
8.

2 =

G
9. Nhng

1 =

G
10. Nên

1 =

2
11. AF là phân giác của

A
12. Tơng tự BF là phân giác
của

B
13. Vậy phân giác của

A
và

B qua F
1. Qua hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng; đờng
thẳng có thể kéo dài vô tận; Vì AD//BC, AF
không // với BC thì phải cắt BC.
2. Theo giả thiết.
3. Góc so le trong của hai đờng thẳng // và một cát
tuyến bằng nhau.
4. Theo giả thiết.
5. cgc
6. Suy từ 5
7. Thay 6 vào giả thiết AD + BC = AB
8. Góc đáy của tam giác cân BAG.
9. Chứng minh ở 3.
10. Suy từ 8 và 9
11. Theo định nghĩa của dờng phân giác.
12. Chứng minh giống từ 2 đến 11.
13. Suy từ 11 và 12; đờng thẳng đia qua 2 điểm và
đờng phân giác của một góc chỉ có một.
Ví dụ 5: (tạo nên đoạn thẳng bằng 2 lần đoạn thẳng cho trớc).
Khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh của tam giác bằng hai lần khoảng
cách từ tâm của đờng tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó.
GT: AK, BD là đờng cao của ABC B
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
8

Trờng THCS Lê Hồng Phong
cắt nhau ở G, đờng trung trực HE, HF K
cắt nhau ở H L G F
KL: BG = 2HE; AG = 2HF. H
A D E C
Suy xét: Muốn chứng minh BG=2HF, ta có thể tìm cách dựng một đoạn
thẳng khác bằng 2HE. Nhng nếu kéo dài HE gấp đôi để đạt mục đích trên, thì
đoạn đó vẫn không có liên hệ gì với BG cả, nên phải nghĩ cách khác. Từ giả thiết
E là điểm giữa của AC, ta thử nối CH và kéo dài đến L sao cho HL = CH. H là
điểm giữa của CL, HE trở thành đoạn thẳng nối hai điểm giữa của hai cạnh

CAL. Từ định lý Đ ờng trung bình của một tam giác bằng 1/2 cạnh thứ ba ta
có LA = 2HE. Xem kỹ hai đoạn LA và BG, ta có thể chứng minh chúng là cạnh
đối của một hình bình hành, nên giải đợc bài này.
Chứng minh: Lý do:
1. Nối CH và kéo dài một đoạn HL
= CH, nối LA, LB
2. LA//HE
3. BD//HE
4. Nên LA//BD
5. Tơng tự ta có LB//AK
6. Tứ giác LAGB là hình bình hành
7. BG = LA.
8. LA = 2HE.
1. Qua hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng; đ-
ờng thẳng có thể kéo dài vô tận.
2. Đoạn thẳng nối liền điểm giữa hai cạnh
của tam giác thì // với cạnh thứ ba.
3. Hai đờng thẳng cùng

với đờng thẳng
thứ ba thì // với nhau.
4. Suy từ 2 và 3.
5. Theo cách chứng minh từ 2 đến 4.
6. Tứ giác có các cạnh đối // với nhau là
hình bình hành
7. Hai cạnh đối hình bình hành
8. Theo định lý đờng trung bình của tam giác
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
9

Trờng THCS Lê Hồng Phong
9. BG = 2HE.
10. Tơng tự ta có AG = 2HF
và 1.
9. Thay 7 vào 8
10. Chứng minh giống từ 7 đến 9.
Chú ý : Bạn thử nối CG lấy điểm giữa là M, tạo nên đoạn thẳng mới bằng
1/2 BG là FM, xem có thể chứng minh đợc bài này không ?
4. Tạo nên những đại l ợng mớ i (đoạn thẳng hoặc góc) bằng nhau;
thêm vào những đại lợng bằng nhau mà bài ra dã cho để giúp cho việc chứng
minh.
Ví dụ 6: Trung tuyến trên cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa
cạnh huyền.
A
GT: Trong ABC,

C = 90
0

DA = DB. D E

KL: DC = DA. B C
Suy xét: Trong bài chỉ có một cặp đại lợng bằng nhau là DA = DB, nh
vậy không chứng minh đợc DC = DA. Ta lấy điểm giữa của AC là E, nối DE, thì
có thêm một cặp đại lợng mới bằng nhau là AE = CE. Và từ định lý Đ ờng trung
bình của một tam giác song song với cạnh thứ ba ; Góc đồng vị của hai đ ờng
thẳng // hợp thành với một cát tuyến thì bằng nhau và Góc bù với góc vuông
cũng là góc vuông , ta sẽ có DE//BC;

1 =

C = 90
0
=

2, nh vậy, lại đợc
thêm một cặp đại lợng bằng nhau. Ta có thể chứng minh

ADE =

CDE để rút
ra DC = DA.
Chứng minh: Lý do:
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
10

Trờng THCS Lê Hồng Phong
1. Lấy điểm giữa của AC là E,
nối DE
2. Nên DE//BC
3. Nên

1 =

C = 90
0
4. và

2 = 90
0
5.

1 =

2
6. AE = EC
7. DE = DE
8. Vậy ADE = CDE
9. DC = DA
1. Mỗi đoạn thẳng đều có một điểm giữa; qua
hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng duy nhất.
2. Đoạn thẳng nối liền điểm giữa hai cạnh của
tam giác thì // với cạnh thứ ba.
3. Góc đồng vị; theo giả thiết
4. Góc bù với góc vuông cũng là góc vuông.
5. Góc vuông bằng nhau.
6. Theo 1.
7. Không đổi.
8. cgc
9. Hai tam giác bằng nhau thì các yếu tố tơng ứng
cũng bằng nhau.
5. Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lý đặc biệt nào đó.
Ví dụ 7. Từ ba đỉnh của một tam giác hạ các đờng vuông góc xuống một đ-
ờng thẳng ở ngoài tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài của ba đờng vuông
góc đó gấp 3 lần độ dài của đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm của tam giác
xuống cùng đờng thẳng đó.
A
GT: ABC, trung tuyến AD, BE, CF F
Gặp nhau tại 0. AG, BH, CK, OL M O E
đều

xy B
KL: AG + BH + CK = 3 OL. D
Suy xét: Bài này nếu muốn áp dụng x
(3) để tạo nên một đoạn thẳng bằng tổng ba H N L G P K
đoạn thẳng kia thì không sao làm đợc,
ta phải nghĩ cách khác. Từ định lý những đờng thẳng cùng vuông góc với đờng
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
11
y

Trờng THCS Lê Hồng Phong
thẳng cho trớc thì // với nhau, ta biết bốn đờng thẳng đó // với nhau và từ định lý
Trọng tâm của một tam giác cách đỉnh một đoạn bằng 2/3 trung tuyến hạ từ
đỉnh đó xuống cạnh đối diện .
Biết BO = 2OE, ta có thê lấy điểm giữa của BO là M, dựng MN ! xy, EP !
xy, tạo nên hình thang MNPE, BHLO, AGKC, có OL, MN, EP lần lợt // là đờng
trung bình của các hình thang trên. Ta có thể ứng dụng định lý Đ ờng trung bình
của hình thang bằng 1/2 tổng hai đáy và chứng minh đ ợc bài trên.
Chứng minh: Lý do:
1. Lấy điểm giữa của BO là M,
dựng MN

xy; EP

xy.
2. Vì BH//MN//OL//AG//EP//CK
3. BM = MO = OE; AE = EC
4. Nên HN = NL = LP
5. MN + EP = 2OL
6. 2MN+2EP = 4OL
7. Nhng 2MN = BH + OL
2EP = AG + CK
8. AG + BH + CK + OL = 4OL
9. Vậy AG + BH + CK = 3OL
1. Mỗi đoạn thẳng đều có điểm giữa; từ một
điểm ngoài đờng thẳng có thể hạ đờng vuông
góc xuống đờng thẳng đó.
2. Những đờng thẳng cùng

với một đờng
thẳng khác thì // với nhau.
3. Theo định lý về trọng tâm tam giác và giả thiết.
4. Theo định lý những đờng thẳng // cách đều.
5. Theo định lý đờng trung bình của tam giác.
6. Suy ra từ 5
7. Giống 5
8. Thay 7 vào 6.
9. Chuyển vế và ớc lợc.
6. Biến đổi hình vẽ, làm cho bài trở lên dễ chứng minh hơn trớc.
Ví dụ 8: Một tam giác có hai cạnh đối A
không bằng nhau, thì tổng của cạnh lớn và
đờng cao trên cạnh ấy, lớn hơn tổng của F
cạnh bé và đờng cao trên cạnh đó. H
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
12
E
G
D

Trờng THCS Lê Hồng Phong
GT: Cho ABC; AB > AC; B C
BD, CE là đờng cao.
KL: AB + CE > AC + BD
Suy xét:
Nếu tạo nên một đoạn thẳng bằng AB + CE và một đoạn khác bằng AC +
BD thì không chứng minh đợc. Do đó ta phải biến đổi kết luận của bài ra:
Chuyển vế bất đẳng thức của kết luận, ta sẽ đợc AB AC > BD CE. Trên cạnh
lớn AB lấy AF = AC, thì BF = AB AC; Dựng FG

AC, FH

BG tạo nên một
đoạn BH = BD HD = BD CE. Nh vậy ta đã đổi bài tập trên trở thành một
bài tập khác phải chứng minh BF > BH.
Chứng minh: Lý do:
1. Trên AB lấy AF = AC. Nối
FC, dựng FG

AC, FH

BD.
2. Vì FG//BD, FH//AC
3. Nên tứ giác FHDG là hbh
4. FG = HD
5. FG = CE.
6. HD = CE
7. BH = BD HD = BD CE.
8. BF = AB AF = AB - AC
9. Vì ^FHB = 90
0
10. Nên ta có BF > BH
11. Hay AB AC > BD CE.
12. Vậy AB + CE > AC + BD.
1. Trên đoạn lớn có thể lấy một đoạn bằng đoạn
nhỏ hơn; Qua hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng; từ
một điểm ngoài đờng thẳng hạ đợc đờng

xuống
đờng thẳng đó.
2. Hai đờng thẳng cùng

với đờng thẳng thứ ba
thì // với nhau.
3. Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hbh
4. Cạnh đối hình bình hành thì bằng nhau.
5. Đờng cao hạ đến hai cạnh bên của tam giác cân
thì bằng nhau.
6. Suy ra từ 4 và 5
7. Suy từ 6
8. Suy từ 1 và giả thiết
9. Theo cách dựng ở 1.
10. Trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn nhất
11. Thay 7, 8 vào 10.
12. Chuyển vế các số hạng.
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
13

Trờng THCS Lê Hồng Phong
Chú ý: Bạn thử từ trên AB lấy BK = AC, từ K dựng KL

AC, KM

BD,
xem có chứng minh đợc bài này không ? Hoặc trên CA kéo dài lấy một điểm P
sao cho AP = AB xem có chứng minh đợc không ?
II. Các loại đờng phụ:
Đờng phụ thờng có 10 loại dới đây:
(1) Kéo dài một đoạn thẳng cho trớc với độ dài tuỳ ý, hoặc bằng độ dài
cho trớc hoặc cắt một đoạn thẳng khác. Nh ví dụ 4 và 5.
(2) Nối hai điểm cho trớc hoặc hai điểm cố định (gồm cả điểm chính giữa
của đoạn thẳng cố dịnh), điểm nằm trên một đoạn thẳng cho trớc và cách đầu
đoạn thẳng đó một khoảng cho trớc). Nh trong ví dụ 3 ; 5; 6; và 8.
(3) Từ một điểm cho trớc dựng đờng song song với một đờng thẳng cho
trớc, hoặc dựng đờng song song với đờng mà ta cần chứng minh đờng này sông
song với một đờng nào đó. Nh trong ví dụ 1 và 2.
(4) Từ một điểm cho trớc hạ đờng vuông góc xuống một đờng thẳng cho
trớc. Nh trong ví dụ 7 và 8.
(5) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc. Nh trong ví dụ 9 (cách
giải I)
(6) Dựng đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc hợp thành với một đờng
thẳng khác một góc bằng góc cho trớc, nh trong cách giải II của ví dụ 9 dới đây:
Ví dụ 9: Góc xen giữa cạnh đáy và đờng cao của cạnh bên trong một tam
giác cân bằng nửa góc ở đỉnh. A
GT: Trong ABC, AB = AC
CD

AB. D
KL:

DCB = 1/2

A.
Cách giải I: B E C
Chứng minh: Lý do:
1. Dựng phân giác của

A là 1. Mối góc đều có một đờng phân giác.
Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng
14

Xem chi tiết: Kinh nghiệm khắc phục tình trạng HS yếu