Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 5 -
2
=
A
R
222 2222 2
222 222 2 2
22
13 13 13
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22
31 31 31
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22
cos sin 0
γ
γα γ γα γ γ
γ
γα γ γα γ γ
αα
⎡ ⎤
+−+ −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−+ −+ −−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
333
(2 /3). ( ).
α
πγ
=
A
zz
RA A A
3
=
A
R
33 3 3
33
33
1/2 3 / 2 0
cos sin 0 sin cos 0
3/2 1/20sin cos 0 0 0 1
001001cossin0
γγ αα
γγ
αα
⎡⎤
−
−−−
⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
−−
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣
⎦
⎢⎥
⎣⎦
3
=
A
R
333 3333 3
333 333 3 3
33
13 13 13
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22
31 31 31
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22
cos sin 0
γ
γα γ γ α γ γ
γ
γα γ γα γ γ
αα
⎡⎤
−−+ +
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+−− −
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Ta thấy các thành phần của các ma trận
A
i
R chỉ chứa các thành phần liên
quan đến góc
i
α
và góc
i
β
.
Ta viết lại phương trình (3.6) dưới dạng đại số.
Chú ý: Do A
i
thuộc mặt phẳng X
0
Y
0
nên
3i
a
= 0 (i=1,2,3)
A
1
trên trục X
0
nên
12
0a
=
Và B
i
thuộc mặt phẳng X
0
Y
0
nên
iz
b
= 0 (i=1,2,3)
+
Với i =1:
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 6 -
111111
2111
3111
.
xx x
yx y
zx z
p
ub a u d
pub ud
pub ud
⎧
+=+
⎪
+=
⎨
⎪
+=
⎩
11 1 1 1
1
11 2
1
11 3
1
x
x
x
y
y
x
z
z
x
audp
u
b
ud p
u
b
ud p
u
b
+−
⎧
=
⎪
⎪
⎪−
⇒=
⎨
⎪
⎪
−
=
⎪
⎩
(3.10)
+Với i=2
12 22122
22 22222
32 222
(a)
(b)
(c)
xx xy x
yx yy y
zx zy z
pub vb a ud
pub vb a ud
pub vb ud
⎧
++=+
⎪
++=+
⎨
⎪
++=
⎩
(3.11)
+Với i=3
13 33133
23 33233
33 333
(a)
(b)
(c)
xx xy x
yx yy y
zx zy z
pub vb a ud
pub vb a ud
pub vb ud
⎧
++=+
⎪
++=+
⎨
⎪
++=
⎩
(3.12)
Ta thực hiện các phép biến đổi sau:
((2.51 ) (2.52 ))
((2.51 ) (2.52 ))
((2.51 ) (2.52 ))
aa
bb
cc
λ
λ
λ
−
⎧
⎪
−
⎨
⎪
−
⎩
1121223133
2 1 22 2 2 32 3 3
312233
(1) ( )( )
(1) ( )( )
(1) )
xxx
yyy
zzz
p
uaudaud
p
uaudaud
puudud
λλλ
λλλ
λλλ
⎧
−+ = + − +
⎪
⇔−+=+−+
⎨
⎪
−+ = −
⎩
(3.13)
Với
3
2
y
y
b
b
λ
=
,
12 3
x
x
bb
λ
λ
=−
Thay các kết quả của hệ (3.10) vào hệ (3.13) ta được:
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 7 -
11 1 1 1
1 1 21 2 2 31 3 3
1
11 2
2 1 22 2 2 32 3 3
1
11 3
312233
1
(1) ( )( )
(1) ( )( )
(1) )
x
xx
x
y
yy
x
z
zz
x
audp
paudaud
b
ud p
paudaud
b
ud p
pudud
b
λλλ
λλλ
λλλ
+−
⎧
−+ = + − +
⎪
⎪
⎪−
−+ = + − +
⎨
⎪
⎪
−
−+ = −
⎪
⎩
(3.14)
Mặt khác, dựa vào kết cấu của bàn di động B ta có :
Hình 3.3
2
12
=
uuuur
BB
12 12
()()
T
bb bb−−=b
3
2
2
13
=
uuuur
BB
13 13
()()
T
bb bb−−=b
2
2
2
23
=
uuuur
BB
23 23
()()
T
bb bb−−=b
1
2
với :
=+
ii
ba
A
.
i
R
0
0
i
d
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(i=1,2,3)
1
⇒=b
11 1 1
11
11
x
y
z
aud
ud
ud
+
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
;
2
=
b
21 2 2
22 2 2
22
x
y
z
aud
aud
ud
+
⎡
⎤
⎢
⎥
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
;
3
=
b
31 3 3
32 3 3
33
x
y
z
aud
aud
ud
+
⎡
⎤
⎢
⎥
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
11 21 1 1 2 2 11 21 1 1 2 2
2
11 22 2 2 11 22 2 2 3
122 122
.
T
xx xx
yy yy
zz zz
aaudud aaudud
ud a ud ud a ud b
uud uud
−+ − −+ −
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⇒−− −− =
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−−
⎣⎦⎣⎦
B
1
B
2
3
B
b
1
3
b
2
b
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 8 -
11 31 1 1 3 3 11 31 1 1 3 3
2
11 32 33 11 32 33 2
11 3 3 11 3 3
.
T
xx xx
yy yy
zz zz
aaudud aaudud
ud a ud ud a ud b
ud ud ud ud
−+ − −+ −
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
−− −− =
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−−
⎣⎦⎣⎦
21 31 2 2 3 3 21 31 2 2 3 3
2
22 32 2 2 3 3 22 32 2 2 3 3 1
22 33 22 33
.
T
xx xx
yy yy
zz zz
aaudud aaudud
aaudud aaudud b
ud ud ud ud
−+ − −+ −
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
−+ − −+ − =
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−−
⎣⎦⎣⎦
Hay :
2222
11 21 1 1 2 2 1 1 22 2 2 1 1 2 2 3
2222
11 31 1 1 3 3 1 1 32 3 3 1 1 3 3 2
2222
21 31 2 2 3 3 22 32 2 2 3 3 2 2 3 3 1
()()()
()()()
()( )()
xx y y zz
xx y y zz
xx yy zz
aaudud udaud udud b
aaudud udaud udud b
a a ud ud a a ud ud ud ud b
⎧
−+ − + −− + − =
⎪
⎪
−+ − + −− + − =
⎨
⎪
−+ − + −+ − + − =
⎪
⎩
Kết hợp với hệ (2.13) ta có hệ 6 phương trình, 6 ẩn:
11 1 1 1
1 1 21 2 2 31 3 3
1
11 2
2122223233
1
11 3
312233
1
11 21 1 1 2
(1) ( )( )
(1) ( )( )
( 1) ) (3.15)
(
x
xx
x
y
yy
x
z
zz
x
xx
audp
paudaud
b
ud p
paudaud
b
ud p
pudud
b
aaudu
λλλ
λλλ
λλλ
+−
−+ = + − +
−
−+ = + − +
−
−+ = −
−+ −
2222
211222211223
2222
11 31 1 1 3 3 1 1 32 3 3 1 1 3 3 2
2222
21 31 2 2 3 3 22 32 2 2 3 3 2 2 3 3 1
)( )( )
()()()
()( )()
yyzz
xx y y zz
xx yy zz
dudaudududb
aaudud udaud udud b
a a ud ud a a ud ud ud ud b
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
+−− +− =
⎪
⎪
−+ − + −− + − =
⎪
⎪
−+ − + −+ − + − =
⎩
Hệ phương trình (3.15) chứa 9 ẩn số
123123123
,,,,,,,,ddd pp p
α
αα
. Các
thành phần , ,
ix iy iz
uuu đã xác định được, các thành phần , ,
x
yz
uuu xác định
theo (3.10)
Khi giải quyết bài toán động học thuận hay ngược, ta biết trước được 3 ẩn.
Công việc còn lại chỉ phải giải hệ 6 phương trình 6 ẩn số.
3.1.2 Bài toán động học thuận
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 9 -
Bài toán động học thuận là bài toán biết độ dài các chân d
i
(i=1,2,3), ta
phải tìm vị trí của bàn máy động
P và ma trận
A
R
B
.
Theo phần trên ta thay các giá trị d
i
(i=1,2,3) và hệ (2.54), ta sẽ được hệ 6
phương trình với 6 ẩn là :
123123
,,,,,ppp
α
αα
Chú ý là 3 phương trình sau của hệ (3.15) chỉ chứa d
i
và
i
α
nên việc giải
6 phương trình được đơn giản lại còn giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn là
i
α
.
Sau đó thay các giá trị của d
i
và
i
α
vào 3 phương trình đầu ta sẽ tính được
các giá trị của
P.
Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương
trình (3.10), (3.11), (3.12).
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 10 -
3.1.3 Bài toán động học ngược
Bài toán động học ngược là bài toán biết vị trí bàn máy động P, ta phải
tìm độ dài các chân d
i
(i=1,2,3) và các góc
i
α
(i=1,2,3) .
Tương tự như cách làm đối với bài toán động học thuận ta thay các giá
trị
P và hệ (3.15), ta sẽ được hệ 6 phương trình với 6 ẩn là :
123123
,,,,,ddd
α
αα
.
Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương
trình (3.10), (3.11), (3.12).
3.1.4 Tính toán vị trí cho một robot song song 3 RPS cụ thể
Ta tính toán cho một robot song song 3 RPS cụ thể :
- Tam giác A
1
A
2
A
3
và tam giác B
1
B
2
B
3
là các tam giác đều.
- PB
1
= h; OA
1
= g;
- Do kết cấu của cơ cấu ta có
iii
zAB
⊥
- Trục
ii
zOA⊥
⇒
/2
i
β
π
=
Khi đó các đại lượng trong công thức (3.6) trở thành :
1
B
b
=
0
0
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
h
;
2
B
b =
2
3
2
0
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
h
h
;
3
B
b
=
2
3
2
0
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
h
h
(3.16)
1
a =
0
0
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
g
;
2
a =
2
3
2
0
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
g
g
;
3
a
=
2
3
2
0
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
g
g
(3.17)
Do
/2
i
β
π
=
nên
i
γ
=
(/2 )
i
π
β
−
= 0
Khi đó các ma trận cosin chỉ hướng
A
R
i
trở thành:
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 11 -
1
A
R =
11 1 1 1
11 1 1 1
11
cos sin cos cos sin
sin sin sin cos cos
cos sin 0
γ
αγα γ
γ
αγα γ
αα
−−
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
1
A
R =
11
11
sin cos 0
001
cos sin 0
α
α
αα
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(3.18)
2
A
R =
222 2222 2
222 222 2 2
22
13 13 13
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22
31 31 31
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22
cos sin 0
γ
γα γ γ α γ γ
γ
γα γ γα γ γ
αα
⎡ ⎤
+−+ −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−+ − −−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
A
R =
22
22
22
11 3
sin cos
222
33 1
sin cos
22 2
cos sin 0
αα
αα
αα
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(3.19)
3
A
R =
333 3333 3
333 333 3 3
33
13 13 13
( cos sin )sin ( cos sin ) sin cos
22 22 22
31 31 31
( cos sin )sin ( cos sin )cos sin cos
22 22 22
cos sin 0
γ
γα γ γα γ γ
γ
γα γ γ α γ γ
αα
⎡⎤
−−+ +
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+−− −
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
cos
3
A
R =
33
33
33
113
sin cos
222
331
sin cos
222
cos sin 0
αα
αα
αα
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(3.20)
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 12 -
Khi đó :
3
2
y
y
b
b
λ
=
= -1 ;
12 3
x
x
bb
λ
λ
=
−
= h;
Thay vào hệ (3.15) ta được :
1223311
22233
31 12 23 3
2 22
11 2 2121212
1
3 ( sin sin ) sin
2
3
3(sinsin)
2
3 cos cos cos (3.21)
3 3 sin 3 sin sin sin
pd d d
pdd
pd d d
ggd gd dd dd
αα α
αα
ααα
αααα
=+−
−
=−
=+ +
−− + ++
2
12 1 2
2 22 2
11 33131313 13 1 3
2 22 2
22 33232323 23 2 3
2coscos 3
3 3 sin 3 sin sin sin 2 cos cos 3
3 3 sin 3 sin sin sin 2 cos cos 3
dd h
ggd gd dd dddd h
ggd gd dd dddd h
αα
αααα αα
αααα αα
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
−=
⎪
⎪
− − + ++− =
⎪
⎪
− − + ++− =
⎩
a) Bài toán động học thuận
Bài toán động học thuận là bài toán biết độ dài các chân d
i
(i=1,2,3), ta
phải tìm vị trí của bàn máy động
P và ma trận
A
R
B
.
Theo phần trên ta thay các giá trị d
i
(i=1,2,3) vào hệ (3.21), ta sẽ được hệ 6
phương trình với 6 ẩn là :
123123
,,,,,ppp
α
αα
Chú ý là 3 phương trình sau của hệ (3.21) chỉ chứa d
i
và
i
α
nên việc giải 6
phương trình được đơn giản lại còn giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn là
i
α
.
Sau đó thay các giá trị của d
i
và
i
α
vào 3 phương trình đầu ta sẽ tính được
các giá trị của
P
Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương trình
(3.10), (3.11), (3.12).
b) Bài toán động học ngược
Bài toán động học ngược là bài toán biết vị trí bàn máy động P, ta phải
tìm độ dài các chân d
i
(i=1,2,3) và các góc
i
α
(i=1,2,3) .
Tương tự như cách làm đối với bài toán động học thuận ta thay các giá trị
P và hệ (3.21), ta sẽ được hệ 6 phương trình với 6 ẩn là :
123123
,,,,,ddd
α
αα
.
Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương
trình (3.10), (3.11), (3.12).
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 13 -
3.2 Bài toán phân tích Jacobi
3.2.1 Ma trận Jacobi của robot song song không gian
Trong phần trước ta đã xây dựng được các điều kiện ràng buộc động học
của cơ cấu, các điều kiện này có dạng tổng quát:
(, ) 0
=
fxp
(3.22)
Trong đó:
p là biến khớp tác động.
x đặc trưng vị trí bệ chuyển động.
f là hàm ẩn n chiều theo p và x ; 0 là vector n zero n chiều.
Đạo hàm (3.22) theo thời gian ta có:
∂∂
=
∂∂
ff
xp
xp
&
&
(3.23)
Đặt :
∂
=
∂
x
f
J
x
và
∂
=
∂
P
f
J
p
Ta có:
=
xP
Jx Jp
&
&
(3.24)
Từ đó ta có:
1
.
−
=
Px
pJJx
&
&
(3.25)
Hoặc:
1
=pJx
&
&
với
1
1
.
−
=
Px
JJJ (3.26)
Và
1
−
=
xP
xJJp
&
&
(3.27)
2
.
=
xJp
&
&
với
1
2
.
−
=
xP
JJJ (3.28)
Trong đó
1
J
,
2
J
là các ma trận Jacobi ứng với 2 trạng thái động học thuận
và động học ngược.
Các điều kiện đặc biệt
Với sự tồn tại hai ma trận Jacobi, cơ cấu chấp hành song song có cấu hình
đặc biệt khi
,
xP
JJ
hoặc cả hai ở trạng thái đặc biệt, do đó có thể tìm được
ba kiểu trạng thái đặc biệt.
- Trạng thái đặc biệt động học đảo
Trạng thái này xảy ra khi định thức của
P
J
tiến đến zero
det( ) 0=
p
J
(3.29)
Khi đó tồn tại các vector
p
&
khác zero dẫn đến kết qủa vector
x
&
bằng zero.
Tức là chuyển động vi phân của bệ di động theo một số chiều không thể thực
hiện, cơ cấu chấp hành bị ràng buộc lại và mất đi một số bậc tự do. Trạng
Chương 3 : Phân tích động học Robot song song 3 RPS
- 14 -
thái đặc biệt động học đảo thường xảy ra ở biên không gian hoạt động của
cơ cấu chấp hành.
- Trạng thái đạc biệt động học thuận
Trạng thái đặc biệt động học thuận xảy ra khi định thức của
x
J
bằng zero
det( ) 0=
x
J
(3.30)
Khi đó tồn tại các vector
x
&
khác zero dẫn đến kết qủa vector
p
&
bằng zero.
Trong trường hợp này bệ di động có thể có chuyển động vi phân theo một số
hướng, còn mọi bộ tác động đều bị khoá. Tức là hệ sẽ tăng lên một số bậc tự
do.
- Trạng thái đặc biệt hỗn hợp
Trạng thái đặc biệt hỗn hợp xảy ra khi cả hai định thức của
x
J
và
P
J
đều
bằng zero.
3.2.2 Phân loại bài toán
a) Bài toán động học ngược
Biết vận tốc góc
ω
r
B
(hoặc vận tốc điểm P
P
v
r
) của bàn máy động, ta cần
xác định vận tốc của các khâu dẫn
ii
vd
=
&
(i=1,2,3)
b)Bài toán động học thuận
Biết
ii
vd=
&
, ta cần xác định vận tốc góc
B
w
r
của bàn máy động và vận tốc
điểm P
P
v
r
.
3.2.3 Phân tích Jacobi robot song song 3 RPS tổng quát
Hình 3.4
B
3
1
B
A
1
A
2
3
A
B
2
O
P
z
y
x
1
1
2
z
3
z
0
x
x
3
z
y
x
2
α
1
α
2
α
3
0
0
z
x
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét