Quy hoạch tuyến tính

Như vậy, bài toán QHTT là bài toán có các biểu thức xác định hàm mục tiêu
và các ràng buộc chung đều ở dạng tuyến tính.
Véctơ x=(x
1
, x
2
,…,x
n
)
T
được gọi là phương án (pa) hay lời giải chấp nhận
được của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán.
Phương án x*=(
T
n
xxx ), ,,
**
2
*
1
được gọi là phương án tối ưu (patư) hay lời
giải tối ưu, nghiệm tối ưu của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt
nhất.
Tức là: f(x*)=
j
n
j
jj
n
j
j
xcxfxc
∑∑
==
=






≥
≤
1
*
1
)(
là giá trị hàm mục tiêu tại phương án x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
bất kỳ. (Dấu ≤ ứng với bài toán cực tiểu. Dấu ≥ ứng với bài toán cực đại).
Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có).
Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung
tập hợp các phương án tối ưu.
Mệnh đề: (Quan hệ giữa bài toán cực đại và bài toán cực tiểu)
(Trong đó: X là tập hợp các phương án)
Tức là: nếu đổi dấu hàm mục tiêu và đổi loại hàm mục tiêu thì ta được bài
toán tương đương. Vì lí do này mà khi nghiên cứu cách giải bài toán qhtt, người ta
chỉ xét bài toán có loại hàm mục tiêu là cực tiểu (hay chỉ xét bài toán có loại hàm
mục tiêu là cực đại)
2. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH
TUYẾN TÍNH 2 BIẾN
Bài toán có dạng: tìm x=(x
1
,x
2
)
T
sao cho f(x)=c
1
x
1
+c
2
x
2
 min (max)
Với hệ ràng buộc: a
i1
x
1
+a
i2
x
2
≥b
i
, i=1,2,…,m
Chú ý:
- Ràng buộc chung có dạng: a≤b, ta đưa về dạng tương đương là: -a≥-b.
f (x) max g(x) f (x) min
(1) (2)
x X x X
→ = − →
 
⇔
 
∈ ∈
 
- Ràng buộc chung có dạng: a = b thì tương đương với: a≥b và –a≥-b.
- Còn các ràng buộc biến có thể xem là các trường hợp riêng của các ràng
buộc chung.
Như vậy, hệ ràng buộc của bài toán QHTT có 2 biến luôn luôn có thể giả thiết
là có dạng: a
i1
x
1
+a
i2
x
2
≥b
i
; i=l, 2 , m
2.1. Xác định miền phương án
Đưa các điểm (x
1
,x
2
) lên hệ trục tọa độ vuông góc. Ta xác định được các điểm
thỏa mãn phương trình: a
i1
x
1
+a
i2
x
2
=b, hình thành nên một đường thẳng chia mặt
phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng (mp). Một nửa mp bao gồm các điểm (x
1
, x
2
)
thỏa mãn bất phương trình: a
i1
x
1
+a
i2
x
2
≥b
i
, và nửa kia bao gồm các điểm (x
1
, x
2
) thỏa
mãn bất phương trình: a
i1
x
1
+a
i2
x
2
≤b
i
.
Trong thực hành, để xác định nửa mp nào ứng với bất phương trình:
a
i1
x
1
+a
i2
x
2
≥b
i
. Ta thường lấy một điểm đặc biệt như (0,0); (0,1); (1,0);… thay vào bất
phương tình, nếu nó thỏa mãn thì nửa mp chứa điểm đặc biệt đó là nửa mp phải tìm;
còn nếu nó không thỏa mãn thì nửa mp phải tìm là nửa mp không chứa điểm đặc biệt
đó.
Các điểm thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán là các điểm thuộc miền giao của
các nửa mp xác định các bất phương trình tương ứng, nó tạo nên một hình đa giác lồi
có thể bị giới nội hay không bị giới nội; hoặc miền giao là rỗng ứng với trường hợp
hệ ràng buộc không tương thích. Trường hợp miễn phương án X không rỗng ta thực
hiện tiếp bước sau.
2.2. Xác định phương án tối ưu
Một điểm x=(x
1
,x
2
)
T
bất kỳ nằm trong mp tọa độ sẽ cho ta giá trị hàm mục tiêu
là: c
1
x
1
+c
2
x
2
=f.
Tập hợp tất cả các điểm có cùng giá trị hàm mục tiêu là f hình thành nên một
đường thẳng vuông góc với véctơ
OC
với C=(c
1
,c
2
)
T
. Đường thẳng này được gọi là
đường thẳng mục tiêu có mức là f.
Đặc điểm của các đường thẳng mục tiêu là: nếu tịnh tiến đường thẳng mục
tiêu theo cùng hướng vectơ
OC
thì giá trị hàm mục tiêu sẽ tăng lên. Còn nếu tịnh
tiến theo hướng ngược với vectơ
OC
thì giá trị hàm mục tiêu sẽ giảm đi.
3. CÁCH ĐƯA BÀI TOÁN QHTT BẤT KỲ VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bài toán qhtt dạng chính tắc là bài toán qhtt có tất cả các ràng buộc chung
đều ở dạng đẳng thức và tất cả các biến đều không âm.
Tức là bài toán có dạng: f=
min
1
→
∑
=
j
n
j
j
xc
(max)
Với hệ ràng buộc:
i
n
j
jij
bxa
=
∑
=
1
, i=1,2,…,m
x≥0, j=1,2,…,n
 Trường hợp ràng buộc chung có dấu bất đẳng thức ≤ (hay ≥) thì ta cộng
thêm (hay trừ đi) một biến phụ (biến bù) vào vế trái để cân bằng. Biến phụ phải ≥ 0
và hệ số tương ứng trong hàm mục tiêu phải bằng 0.
 Trường hợp biến có điều kiện ≤ 0 (hay tùy ý) thì ta thay biến đó bằng
“đối” của biến không âm (hay bằng hiệu của biến không âm)
Kết luận: Mọi bài toán qhtt đều đưa được về dạng chính tắc và việc giải bài
toán qhtt đã cho tương đương với việc giải bài toán qhtt dạng chính tắc tương ứng với
nó, theo nghĩa là nếu bài toán dạng chính tắc có patư thì từ đó suy ra được patư của
bài toán ban đầu, còn nếu bài toán dạng chính tắc không có phương án tối ưu thì bài
toán ban đầu cũng không có patư. Nói cách khác: Bài toán ban đầu có patư khi và
chỉ khi bài toán dạng chính tắc tương ứng với nó có patư.
 Như vậy ta chỉ cần tìm cách giải bài toán qhtt dạng chính tắc.
4. PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN. NGHIỆM CƠ BẢN CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4.1. Phương pháp khử Gauss-Jordan
Xét hệ thống gồm m phương trình tuyến tính, n biến:







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
Dạng bảng:
b x
1
x
2
… x
v
… x
n
a
10
a
20
…
a
r0
…
a
m0
a
11
a
21
…
a
r1
…
a
m1
a
12
a
22
…
a
r2
…
a
m2
…
…
…
…
…
…
a
1v
a
2v
…
a
rv
…
a
mv
…
…
…
…
…
…
a
1n
a
2n
…
a
rn
…
a
mn
a’
10
a’
20
…
a
r0
/a
rv
…
a’
m0
a’
11
a’
21
…
a
r1
/a
rv
…
a’
m1
a’
12
a’
22
…
a
r2
/a
rv
…
a’
m2
…
…
…
…
…
…
0
0
…
1
…
0
…
…
…
…
…
…
a’
1n
a’
2n
…
a
rn
/a
rv
…
a’
mn
Trong đó: a
i0
=b
i
, i=1,2,…,m
Phép khử Gauss –Jordan (gọi tắt là phép khử) với phần tử trục (Phần tử giải;
Phần tử chủ yếu) là a
rv
≠0 (Dòng r được gọi là dòng xoay, cột v được gọi là cột xoay)
cho bảng mới tương đương với bảng cũ, theo nghĩa là 2 hệ thống tương ứng với 2
bảng là tương đương với nhau.
Quy tắc thực hiện:
- Các phần tử trên dòng xoay đều chia cho phần tử trục.
- Các phần tử còn lại trên cột xoay đều biến thành 0.
- Các phần tử khác tính theo qui tắc đường chéo hình chữ nhật rồi chia cho
phần tử trục:
[ ]
rv
ivrjrvij
rv
rvrj
vij
ij
a
aaaa
a
aa
aa
a
−×
==
1
'

(i=1,2,…,m; j=0,1,2,…,n; i≠r; j≠v)
Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính: Lần lượt thực hiện các phép khử
Gauss-Jordan với các phần tử trục nằm trên các dòng khác nhau, bảng cuối cùng sẽ
cho ta lời giải của hệ phương trình (không chọn phần tử trục nằm trên cột b)
Lưu ý:
- Trong trường hợp có nhiều phần tử có thể được chọn làm phần tử trục, ta
nên chọn phần tử sao cho dễ thực hiện phép chia nhất.
- Trên dòng xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì cột tương ứng (tức là cột có
phần tử =0 này) được giữ nguyên giá trị.
- Trên cột xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì dòng tương ứng (tức là dòng có
phấn tử =0 này) được giữ nguyên giá trị.
4.2. Nghiệm cơ sở của hệ phương trình tuyến tính
Nghiệm cơ sở (nghiệm cơ bản) của 1 hệ phương trình tuyến tính là nghiệm
nhận được từ dạng nghiệm tổng quát khi có các biến tự do nhận giá trị 0.
Biến cơ sở (biến cơ bản) ứng với một phương trình là biến có hệ số là 1 ở
phương trình đó và có hệ số là 0 ở các phương tình còn lại (nói cách khác: các hệ số
tương ứng với biến cơ sở tạo nên các vectơ đơn vị)
Các biến không có đặc điểm trên được gọi là các biến phi cơ sở.
Trong dạng nghiệm tổng quát, các biến cơ sở đóng vai trò là các biến phụ
thuộc còn các biến phi cơ sở là các biến tự do.
Nhận xét: khi thực hiện phép khử với 1 phần tử trục thì biến ở cột xoay sẽ trở
thành biến cơ sở tương ứng với dòng xoay.
Ta thấy một nghiệm cơ sở tương ứng với một dạng nghiệm tổng quát, mà các
dạng nghiệm tổng quát khác nhau là do hệ các biến tự do (hay hệ các biến cơ sở) là
khác nhau. Do đó để tìm tất cả nghiệm cơ sở ta đưa vào bảng tính cột x
B
chứa các
biến cơ sở tương ứng với mỗi phương trình và tiến hành thực hiện các phép khử với
các phần tử trục được chọn sao cho thu được các hệ biến cơ sở khác nhau.
Nghiệm cơ sở tương ứng với mỗi bảng sẽ được xác định bằng các cho các
biến cơ sở nhận giá trị tương ứng ở cột b, các biến không nằm trong hệ biến cơ sở
nhận giá trị 0.
- Nghiệm cơ sở suy biến là nghiệm cơ sở tương ứng với nó nhiều hơn 1 hệ
biến cơ sở.
- Nghiệm cơ sở không suy biến là nghiệm cơ sở có tương ứng với nó đúng 1
hệ biến cơ sở.
5. PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN
Pacb (phương án cơ sở; phương án cơ bản) của bài toán qhtt dạng chính tắc là
phương án đồng thời là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung.
Nói cách khác, pacb là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung có thỏa điều
kiện về dấu của các biến.
- Pacb không suy biến là pacb có tương ứng với nó đúng một hệ biến cơ sở.
- Pacb suy biến là pacb có tương ứng với nó nhiều hơn một hệ biến cơ sở.
Do số nghiệm cơ sở của một hệ phương trình tuyến tính là hữu hạng nên số
pacb là hữu hạng.
Số thành phần dương (>0) trong một pacb không vượt quá hạng của hệ ràng
buộc chung.
Pacb có số thành phần lớn hơn 0 đúng bằng hạng của hệ ràng buộc chung sẽ là
pacb không suy biến. Ngược lại, pacb có số thành phần lớn hơn 0 nhỏ hơn hạng của
hệ ràng buộc chung có thể là phương án cực biên suy biến.
6. CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI
Tập hợp lồi: Là tập hợp phương án thỏa điều kiện: Nếu có 2 điểm bất kỳ
thuộc nó thì cả đoạn thẳng nối 2 điểm cũng thuộc tập hợp đó.
Định nghĩa: Điểm cực biên của một tập lồi X là điểm thuộc X, nhưng không
phải là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong X.
Đỉnh của 1 tập lồi X là điểm thuộc X và tồn tại 1 siêu phẳng sao cho X nằm
hoàn toàn về 1 phía của nó và siêu phẳng cắt X chỉ tại điểm đó.
Lưu ý: phương trình đoạn thẳng có thể viết dưới dạng: x=x
o
+αz,
∀
α
[ ]
21
,
αα
∈
Đây là đoạn thẳng nằm trên đường thẳng đi qua điểm x
o
và có vectơ chỉ
phương là z.
7. CÁC ĐỊNH LÝ
 Định lý 1 (dấu hiệu của pacb): Một phương án của bài toán qhtt dạng chính
tắt là pacb khi và chỉ khi hệ véctơ cột tương ứng với các thành phần dương (>0) là
độc lập tuyến tính.
 Định lý 2 (Điều kiện tồn tại pacb): Bài toán qhtt dạng chính tắc nếu có pa
thì sẽ có pacb.
 Định lý 3 (ý nghĩa hình học của pacb): một pacb tương ứng với 1 điểm cực
biên (đỉnh) của tập phương án.
 Định lý 4 (định lý biểu diễn):
i
K
i
L
i
i
i
i
zxxXx
∑ ∑
= =
+=⇔∈
1 1
βα
Trong đó x
1
,…,x
K
là các pacb; z
1
,…,z
L
là các vectơ chỉ phương các cạnh vô
hạn.
0
≥∀
i
α
, i=1,…,K;
0
≥∀
i
β
, i=1,…,L và α
1
+…+ α
K
=1
Tức là pa x được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của các pacb cộng với tổ hợp
không âm của các vectơ chỉ phương các cạnh vô hạn.
 Định lý 5 (điều kiện tồn tại pacb): bài toán qhtt có patư khi và chỉ khi nó
có phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới đối với bài toán cực tiểu (hay bị chặn
trên đối với bài toán cực đại) trên tập phương án.
Nếu bài toán qhtt dạng chính tắc có patư thì sẽ có 1 pacb là patư.
Định mức
lao động
Loại thợ
B. BÀI TẬP
1. Lập mô hình toán học các bài toán sau:
a. Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng 2 loại tàu 100 mã lực và 50 mã
lực. Trong xí nghiệp có 3 loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch. Thợ rèn có
2000 công, thợ sắt có 3000 công, thợ mộc có 1500 công. Định mức lao động của mỗi
loại tàu được cho trong bản:
100 mã lực 50 mã lực
Thợ sắt (3000)
Thợ rèn (2000)
Thợ mộc (1500)
150
120
80
70
50
40
(công/sản phẩm)
Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt tổng số mã lực cao nhất?
Giải
Gọi x
1
, x
2
lần lượt là số tàu 100 mã lực và 50 mã lực cần đóng
 f(x)=100x
1
+50x
2
 max
Điều kiện:







≥≥
≤+
≤+
≤+
0x,0x
1500x40x80
2000x50x120
3000x70x150
21
21
21
21
b. Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện,
150 giờ máy mài để chế tạo 3 loại sản phẩm A, B, C. Để chế tạo một đơn vị sản
phẩm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; 1 đơn vị sản phẩm B cần
3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; 1 đơn vị sản phẩm C cần 5 giờ máy cán. 3 giờ máy
tiện, 2 giờ máy mài. Mỗi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16
ngàn đồng, mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng.
Loại tàu
Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cấn chế tạo bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để
tổng giá trị sản phẩm xí nghiệp thu được là lớn nhất, với điều kiện không dùng quá số
giờ hiện có của mỗi loại máy.
Giải
Ta có bảng tóm tắt như sau:
Loại sp
Thiết bị
A (48) B (16) C (27)
Máy cán (510) 9 3 5
Máy tiện (360) 5 4 3
Máy mài (150) 3 0 2
Gọi x
1
, x
2
, x
3
là số đơn vị sản phẩm loại A, B, C
 f(x)= 48x
1
+16x
2
+27x
3
 max
Điều kiện:







=≥
≤+
≤++
≤++
3,2,1j,0x
150x2x3
360x3x4x5
510x5x3x9
j
31
321
321
c. Một xí nghiệp điện cơ sản xuất quạt điện các loại. Cần cắt từ một tấm tôn
các cánh quạt điện theo 3 kiểu A, B, C. Có 6 mẫu cắt khác nhau theo bảng sau:
Kiểu cánh
quạt
Mẫu cắt
1 2 3 4 5 6
A
B
C
2
0
0
1
1
0
1
0
1
0
2
0
0
1
2
0
0
3
Chỉ tiêu sản lượng sản phẩm của xí nghiệp phải hoàn thành ít nhất 4000 cánh
quạt kiểu A, 5000 cánh quạt kiểu B, 3000 cánh quạt kiểu C. Hỏi xí nghiệp có phương
án cắt như thế nào để có phế liệu ít nhất?
Giải
Gọi x
j
là số tấm tôn cắt theo mẫu j
 f(x)= 2x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
+ 3x
6
 min
Điều kiện:







=≥
≥++
≥++
≥++
6,5,4,3,2,1j,0x
3000x3x2x
5000xx2x
4000xxx2
j
653
542
321
Chi phí
vận chuyển
Xí nghiệp
d. Cần vận chuyển 1 loại hàng hóa từ 3 xí nghiệp A1, A2, A3 đến các cửa
hàng B1, B2, B3, B4. lượng hàng có ở mỗi xí nghiệp và chi phí vận chuyển 1 đơn vị
hàng được cho ở bảng sau:
B
1
B
2
B
3
B
4
Khả năng
hàng hóa
A
1
A
2
A
3
3
1
1
4
2
5
0
5
8
1
6
2
40
30
30
Nhu cầu hàng hóa 20 25 30 15
Hãy lập kế hoạch vận chuyển sao cho tổng chi phí vận chuyển là bé nhất?
Giải
Gọi x
ij
là lượng hàng hóa cần vận chuyển từ xí nghiệp A
i
(i = 1, 2, 3) đến cửa
hàng B
j
(j=1, 2, 3, 4).
 f(x) = 3x
11
+ 4x
12
+ x
14
+ x
21
+ 2x
22
+ 5x
23
+ 6x
24
+ x
31
+ 5x
32
+ 8x
33
+ 2x
34
 min
Điều kiện:













==≥
=++
=+
=++
=++
≤+++
≤+++
≤++
3,2,1,4,3,2,1,0
15
30
20
20
30
30
40
342414
3323
322212
312111
34333231
24232221
141211
ijx
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
ij
e. Công ty may mặc Long Vũ hiện đang lập kế hoạch sản xuất 3 mặt hàng
áo Jaket, áo Chemis, áo Bludong. Được biết chi phí giở công sản xuất của từng mặt
hàng qua 3 công đoạn cắt, may, hoàn chỉnh như sau:
Chemis Bludong Jaket
Giờ công bộ phận cắt 0.2 0.4 0.3
Giờ công bộ phận may 0.3 0.5 0.4
Giờ công bộ phận hoàn
chỉnh
0.1 0.2 0.1
Đơn giá (USD/sp) 2.3 3.6 2.8
Cửa
hàng

Xem chi tiết: Quy hoạch tuyến tính